contoh soal matematika peminatan kelas 11 semester 2

by admin
0
Posted on July 28, 2025

Contoh soal matematika peminatan kelas 11 semester 2

Menjelajah Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 2: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Matematika Peminatan di tingkat SMA adalah mata pelajaran yang dirancang untuk siswa yang memiliki minat dan kemampuan lebih dalam bidang matematika, serta berencana melanjutkan studi ke jenjang perguruan tinggi dengan konsentrasi ilmu alam, teknik, atau bahkan matematika murni. Materi yang diajarkan lebih mendalam dan kompleks dibandingkan Matematika Wajib, menuntut pemahaman konsep yang kuat, kemampuan analisis, serta ketelitian dalam perhitungan.

Semester 2 kelas 11 biasanya menjadi periode yang menantang namun sangat menarik, karena memperkenalkan berbagai topik fundamental yang akan menjadi dasar untuk materi di kelas 12. Topik-topik yang seringkali menjadi fokus antara lain Persamaan Lingkaran, Polinomial, Trigonometri Lanjut, dan Transformasi Geometri. Memahami konsep-konsep ini secara mendalam sangat penting untuk keberhasilan di ujian sekolah maupun persiapan Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK).

Artikel ini akan mengupas tuntas beberapa contoh soal representatif dari masing-masing topik tersebut, dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah untuk membantu Anda memahami cara penyelesaiannya.

Contoh soal matematika peminatan kelas 11 semester 2

1. Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran adalah salah satu topik yang menggabungkan geometri analitik dengan aljabar. Anda akan belajar bagaimana menentukan persamaan lingkaran dari berbagai informasi yang diberikan, serta bagaimana menentukan posisi suatu titik atau garis terhadap lingkaran.

Konsep Kunci:

Bentuk baku persamaan lingkaran: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, dengan $(a,b)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari.
Bentuk umum persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
Persamaan garis singgung lingkaran.

Contoh Soal 1: Menentukan Persamaan Lingkaran

Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(3, -2)$ dan menyinggung garis $3x – 4y + 5 = 0$.

Pembahasan:

Identifikasi Pusat Lingkaran: Pusat lingkaran $(a,b) = (3, -2)$.
Tentukan Jari-jari (r): Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung. Rumus jarak titik $(x_1, y_1)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah:
$r = fracsqrtA^2 + B^2$
Dalam kasus ini, $(x_1, y_1) = (3, -2)$ dan garis adalah $3x – 4y + 5 = 0$ (maka $A=3, B=-4, C=5$).
$r = frac3(3) – 4(-2) + 5sqrt3^2 + (-4)^2$
$r = fracsqrt9 + 16$
$r = frac22sqrt25$
$r = frac225$
Susun Persamaan Lingkaran: Gunakan bentuk baku $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
$(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = left(frac225right)^2$
$(x-3)^2 + (y+2)^2 = frac48425$

Contoh Soal 2: Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$.

Pembahasan:

Identifikasi Lingkaran dan Titik Singgung: Lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ berpusat di $(0,0)$ dengan $r^2 = 25$. Titik singgung $(x_1, y_1) = (3, 4)$.
Gunakan Rumus Garis Singgung: Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ yang disinggung di titik $(x_1, y_1)$, persamaan garis singgungnya adalah $x_1x + y_1y = r^2$.
$3x + 4y = 25$

Catatan: Jika lingkaran tidak berpusat di $(0,0)$, misalnya $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, maka rumus garis singgung di titik $(x_1, y_1)$ adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$.

2. Polinomial (Suku Banyak)

Polinomial adalah ekspresi aljabar yang melibatkan penjumlahan perkalian variabel dengan koefisien. Topik ini mencakup operasi dasar polinomial, teorema sisa, teorema faktor, dan mencari akar-akar polinomial.

Konsep Kunci:

Derajat polinomial, koefisien, konstanta.
Pembagian polinomial (cara bersusun atau Horner).
Teorema Sisa: Jika $P(x)$ dibagi $(x-k)$, sisanya adalah $P(k)$.
Teorema Faktor: $(x-k)$ adalah faktor dari $P(x)$ jika $P(k) = 0$.
Akar-akar rasional polinomial.

Contoh Soal 3: Pembagian Polinomial dan Teorema Sisa

Soal: Suku banyak $P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 4x + 7$ dibagi oleh $(2x+1)$. Tentukan hasil bagi dan sisanya.

Pembahasan (Menggunakan Metode Horner):
Pembagi $2x+1 = 0 Rightarrow 2x = -1 Rightarrow x = -frac12$.

Koefisien $P(x)$ adalah $2, -5, 4, 7$.

     -1/2 | 2   -5    4    7
          |     -1    3   -7/2
          -------------------- (+)
            2   -6    7    7/2

Dari hasil Horner:

Baris terakhir (selain sisa) adalah koefisien hasil bagi. Karena pembaginya $2x+1$ (bukan $x-k$), maka hasil bagi yang didapat dari Horner harus dibagi dengan koefisien $x$ pada pembagi (yaitu 2).
Koefisien hasil bagi sementara: $2, -6, 7$.
Hasil bagi sesungguhnya: $frac22x^2 – frac62x + frac72 = x^2 – 3x + frac72$.
Sisa pembagian adalah angka terakhir di baris terakhir: $7/2$.

Jadi, hasil bagi adalah $x^2 – 3x + frac72$ dan sisa pembagian adalah $frac72$.

Contoh Soal 4: Teorema Faktor

Soal: Diketahui $(x-2)$ adalah salah satu faktor dari $P(x) = x^3 – ax^2 + 2x + 4$. Tentukan nilai $a$ dan faktor-faktor lainnya.

Pembahasan:

Gunakan Teorema Faktor: Jika $(x-2)$ adalah faktor, maka $P(2) = 0$.
$P(2) = (2)^3 – a(2)^2 + 2(2) + 4 = 0$
$8 – 4a + 4 + 4 = 0$
$16 – 4a = 0$
$4a = 16$
$a = 4$
Substitusikan nilai a: $P(x) = x^3 – 4x^2 + 2x + 4$.
Cari Faktor Lainnya (Menggunakan Horner): Karena $(x-2)$ adalah faktor, kita bisa bagi $P(x)$ dengan $(x-2)$.
Pembagi $x=2$. Koefisien $P(x)$ adalah $1, -4, 2, 4$.
```
  2 | 1   -4    2    4
    |     2   -4   -4
    ----------------- (+)
      1   -2   -2    0
```
Hasil bagi adalah $x^2 – 2x – 2$.
Faktorkan Hasil Bagi: Untuk mencari faktor lain, kita perlu mencari akar dari $x^2 – 2x – 2 = 0$. Gunakan rumus ABC:
$x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
$x = frac-(-2) pm sqrt(-2)^2 – 4(1)(-2)2(1)$
$x = frac2 pm sqrt4 + 82$
$x = frac2 pm sqrt122$
$x = frac2 pm 2sqrt32$
$x = 1 pm sqrt3$
Jadi, faktor-faktor lainnya adalah $(x – (1+sqrt3))$ dan $(x – (1-sqrt3))$.

Faktor-faktor dari $P(x)$ adalah $(x-2)$, $(x – 1 – sqrt3)$, dan $(x – 1 + sqrt3)$.

3. Trigonometri Lanjut

Trigonometri di kelas 11 peminatan akan membahas identitas-identitas lanjutan, seperti rumus jumlah dan selisih sudut, rumus sudut rangkap, sudut paruh, serta penyelesaian persamaan trigonometri yang lebih kompleks.

Konsep Kunci:

Rumus jumlah dan selisih sudut: $sin(A pm B)$, $cos(A pm B)$, $tan(A pm B)$.
Rumus sudut rangkap: $sin 2A$, $cos 2A$, $tan 2A$.
Rumus sudut paruh.
Rumus perkalian ke penjumlahan/pengurangan, dan sebaliknya.
Penyelesaian persamaan trigonometri dengan rentang tertentu.

Contoh Soal 5: Persamaan Trigonometri Kompleks

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $2cos^2 x – 3sin x = 0$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:

Ubah ke dalam Satu Jenis Fungsi Trigonometri: Gunakan identitas $cos^2 x = 1 – sin^2 x$.
$2(1 – sin^2 x) – 3sin x = 0$
$2 – 2sin^2 x – 3sin x = 0$
$-2sin^2 x – 3sin x + 2 = 0$
$2sin^2 x + 3sin x – 2 = 0$
Misalkan dan Faktorkan: Misalkan $p = sin x$.
$2p^2 + 3p – 2 = 0$
$(2p – 1)(p + 2) = 0$
Maka, $2p – 1 = 0 Rightarrow p = frac12$ atau $p + 2 = 0 Rightarrow p = -2$.
Selesaikan untuk $sin x$:
- Kasus 1: $sin x = frac12$
  Nilai $x$ yang memenuhi adalah $30^circ$ (kuadran I) dan $150^circ$ (kuadran II).
  Untuk $0^circ le x le 360^circ$:
  $x = 30^circ + k cdot 360^circ Rightarrow x = 30^circ$ (untuk $k=0$)
  $x = (180^circ – 30^circ) + k cdot 360^circ Rightarrow x = 150^circ$ (untuk $k=0$)
- Kasus 2: $sin x = -2$
  Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi, karena nilai $sin x$ selalu berada dalam rentang $[-1, 1]$.
Himpunan Penyelesaian: $30^circ, 150^circ$.

Contoh Soal 6: Identitas Trigonometri

Soal: Buktikan identitas $fraccos 2×1 – sin 2x = fraccos x + sin xcos x – sin x$.

Pembahasan:
Kita akan mulai dari ruas kiri dan berusaha mengubahnya menjadi ruas kanan.
$fraccos 2×1 – sin 2x$

Gunakan identitas $cos 2x = cos^2 x – sin^2 x$ dan $sin 2x = 2sin x cos x$.
Untuk penyebut $1$, kita bisa gunakan identitas $sin^2 x + cos^2 x = 1$.

$fraccos^2 x – sin^2 xsin^2 x + cos^2 x – 2sin x cos x$

Faktorkan pembilang (selisih dua kuadrat): $cos^2 x – sin^2 x = (cos x – sin x)(cos x + sin x)$.
Faktorkan penyebut (bentuk kuadrat sempurna): $sin^2 x + cos^2 x – 2sin x cos x = (cos x – sin x)^2$.

$frac(cos x – sin x)(cos x + sin x)(cos x – sin x)^2$

Coret faktor yang sama $(cos x – sin x)$:
$fraccos x + sin xcos x – sin x$

Terbukti bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

4. Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah proses mengubah posisi atau ukuran suatu objek geometri. Ada empat jenis transformasi dasar: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian skala).

Konsep Kunci:

Translasi: $(x,y) xrightarrowT(a,b) (x+a, y+b)$.
Refleksi:
- Terhadap sumbu x: $(x,y) to (x, -y)$.
- Terhadap sumbu y: $(x,y) to (-x, y)$.
- Terhadap garis $y=x$: $(x,y) to (y, x)$.
- Terhadap garis $y=-x$: $(x,y) to (-y, -x)$.
- Terhadap titik asal $(0,0)$: $(x,y) to (-x, -y)$.
Rotasi (pusat O(0,0)):
- $90^circ$ (searah jarum jam) atau $-270^circ$: $(x,y) to (y, -x)$.
- $90^circ$ (berlawanan jarum jam) atau $270^circ$: $(x,y) to (-y, x)$.
- $180^circ$: $(x,y) to (-x, -y)$.
Dilatasi (pusat O(0,0), faktor skala k): $(x,y) to (kx, ky)$.
Komposisi Transformasi: Melakukan lebih dari satu transformasi secara berurutan.

Contoh Soal 7: Translasi dan Refleksi

Soal: Sebuah titik $A(4, -7)$ ditranslasikan oleh $T = beginpmatrix -3 5 endpmatrix$, kemudian direfleksikan terhadap garis $y=x$. Tentukan koordinat akhir titik $A”$.

Pembahasan:

Translasi Titik A:
$A(4, -7) xrightarrowT(-3, 5) A'(4+(-3), -7+5) = A'(1, -2)$.
Refleksi Titik A’ terhadap garis y=x:
$A'(1, -2) xrightarrowRefleksi y=x A”(-2, 1)$.

Unikan.ac.id

Contoh soal matematika peminatan kelas 11 semester 2

Leave a Reply Cancel reply

About us

Contacts

Have Any Questions?

Mail Us